Shynybayev, M. D., et al.: Conformableness of S. V. Kovalevskaya-Integrability-Theory to the Newton‘s law of Universal Gravitation

Shynybayev, M. D., Bekov, A. A., Abzhapbarov A. B.,
Da’yrbekov, S. S., Aysheva E. S., Sansyzbayeva A. S.

 

Conformableness of S. V. Kovalevskaya-Integrability-Theory
to the Newton‘s law of Universal Gravitation

Shynybayev, M. D., Bekov, A. A.
Joint-Stock Company “National Center of Space Research and Technology”
Shevchenko street 15, 050010 Almaty, Kazakhstan
Abzhapbarov A. B.
М. Auezov South Kazakhstan State University
Taukekhan avenue 51, 60012 Shymkent, Kazakhstan
Da’yrbekov, S. S., Aysheva E. S., Sansyzbayeva A. S.
University “Syrdariya”
Auezov street 11, 160500 Zhetysai, Kazakhstan

Abstract

There has been found a new case of integrability of different equations of rotational motion of a rigid body about the center of mass in a central Newtonian gravitational field. The integrability case was obtained for an axisymmetric rigid body; its principal central moments of inertia are connected by equality A = B = 2C, where xC = 0, zC = 0, and C is the center of mass of a rigid body. With exactly the same distribution of mass S. V. Kovalevskaya solved another problem of rotation of a rigid body around a fixed point in a homogeneous field of gravity. A common solution in this case was recorded in hyperelliptic functions. This solving was received in 1889. The fixed point was located in the equatorial plane, i. e. xG ≠ 0, yG ≠ 0, zG ≠ 0, where G is the point of application of the force of gravity. It has turned out that this problem is closely connected with many topical problems of mathematics and mechanics; there has been an increase in theoretical and practical applications of the results and methods they had been brought about. In our problem, in contrast to that of S. V. Kovalevskaya, the center of rotational motion coincides with the center of the mass of the body. Consequently, the torque equals to zero, and the motion of the body occurs in the central Newtonian gravitational field.
In this case the complete system of differential equations of rotational motions of objects about the center of the mass of the body in the Newtonian gravitational field permits four independent first integrals. In line with the general postulates, the availability of these four integrals permits to integrate the complete system of differential equations of the set objective. The obtained results should be considered as model solutions that can be used to forecast the rotational motions of unguided objects in outer space, satellites in emergency situations, space debris, etc.

Keywords: dynamics, rigid body, Newtonian gravitational field, center of mass, rotational motion, moments of inertia of the body.

Резюме

Қатты дененің массалық центріне қатысты орталық ньютон өрісіндегі қозғалысының дифференциалдық теңдеулерінің жаңа интегралдану кезеңі анықталды. Интегралдану жолы өстік симметриялық денеге байланысты қорытылды. Мұнда бас орталық инерциялық моменттер байланысы былай ерекшеленеді: A = B = 2C, xC = 0, zC = 0, C –массалық центр. Тура осындай масса жайылу жағдайында 1889 жылы С.В.Ковалевская жылжымайтын нүктеге қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерінің бір шешілу кезеңін ашқан еді. Мұнда жылжымайтын нүкте G дененің экваторлық қимасында орналасқан болатын xG ≠ 0, yG ≠ 0, zG ≠ 0, және дене қозғалысы G нүктесінен бағытталған ауырлық күшінің әсерінен айналмалы қозғалатын. Шешім жалпы түрде гиперэллипстік интегралдарды қолданып жазылған болатын.
Уақыт өте бұл шешім көптеген актуалдық математика және механика есептерімен байланысты болып, күннен күнге кеңінен қолданыс тапты. Осы күнге дейін ондағы әдістермен ой өрістер құндылығын жоймады.
Біз С. В. Ковалевская есебіндегі дененің айналу нүктесін массалық центрге ауыстырдық, және қозғалыс ньютонның орталық күш өрісінде өрбиді деп алдық, өйткені жасанды Жер серігінің қозғалысы екі қозғалысқа жіктеледі: орбиталық (массалық центрімен бірге) және айналмалы массалық центрге қатысты.
Біздің жағдайда дифференциалдық теңдеулер тәуелсіз төрт бірінші интегралдарды қорытуға мүмкіндік береді.
Жалпы теория негізінде олар толық шешімге алып келеді.
Шешім квадратуралар арқылы Эйлер бұрыштарын өрнектейді. Шешімдер басқарылмайтын ғарыштық нысандардың қозғалысын қадағалауға мүмкіншілік орнатады.

Кілт сөздер: динамика, қатты дене, күштік өріс, ньютон ауырлық өрісі, салмақ орталығы, айналмалы қозғалыс, дененің инерциялық моменттері.

The complete text in Russian: